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Cómo calcular las probabilidades de Powerball

Cómo calcular las probabilidades de Powerball

Powerball es una lotería multiestatal que es bastante popular debido a sus botes multimillonarios. Algunos de estos botes alcanzan valores que superan los $ 100 millones. Una búsqueda interesante desde un sentido probabilístico es: "¿Cómo se calculan las probabilidades sobre la probabilidad de ganar Powerball?"

Las normas

Primero examinaremos las reglas de Powerball tal como está configurado actualmente. Durante cada sorteo, dos tambores llenos de bolas se mezclan completamente y se aleatorizan. El primer tambor contiene bolas blancas numeradas del 1 al 59. Cinco se sacan sin reemplazo de este tambor. El segundo tambor tiene bolas rojas numeradas del 1 al 35. Una de ellas está dibujada. El objetivo es hacer coincidir tantos números como sea posible.

Los premios

El bote completo se gana cuando los seis números seleccionados por un jugador coinciden perfectamente con las bolas que se extraen. Hay premios con valores menores para el emparejamiento parcial, para un total de nueve formas diferentes de ganar una cantidad en dólares de Powerball. Estas formas de ganar son:

  • Unir las cinco bolas blancas y la bola roja gana el premio mayor del premio mayor. El valor de esto varía según cuánto tiempo haya pasado desde que alguien ganó este gran premio.
  • Unir las cinco bolas blancas pero no la roja gana $ 1,000,000.
  • Emparejar exactamente cuatro de las cinco bolas blancas y la bola roja gana $ 10,000.
  • Unir exactamente cuatro de las cinco bolas blancas pero no la roja gana $ 100.
  • Emparejar exactamente tres de las cinco bolas blancas y la bola roja gana $ 100.
  • Unir exactamente tres de las cinco bolas blancas pero no la roja gana $ 7.
  • Emparejar exactamente dos de las cinco bolas blancas y la bola roja gana $ 7.
  • Emparejar exactamente una de las cinco bolas blancas y la bola roja gana $ 4.
  • Emparejar solo la bola roja pero ninguna de las bolas blancas gana $ 4.

Veremos cómo calcular cada una de estas probabilidades. A lo largo de estos cálculos, es importante tener en cuenta que el orden de cómo salen las bolas del tambor no es importante. Lo único que importa es el conjunto de bolas que se dibujan. Por esta razón, nuestros cálculos implican combinaciones y no permutaciones.

También es útil en cada cálculo a continuación el número total de combinaciones que se pueden dibujar. Tenemos cinco seleccionados de las 59 bolas blancas, o usando la notación para combinaciones, C (59, 5) = 5,006,386 formas para que esto ocurra. Hay 35 formas de seleccionar la bola roja, lo que resulta en 35 x 5,006,386 = 175,223,510 posibles selecciones.

Bote

Aunque el premio mayor de unir las seis bolas es el más difícil de obtener, es la probabilidad más fácil de calcular. De la multitud de 175,223,510 selecciones posibles, hay exactamente una forma de ganar el premio mayor. Por lo tanto, la probabilidad de que un boleto en particular gane el premio mayor es 1 / 175,223,510.

Cinco bolas blancas

Para ganar $ 1,000,000 necesitamos unir las cinco bolas blancas, pero no la roja. Solo hay una forma de combinar los cinco. Hay 34 formas de no igualar la bola roja. Entonces, la probabilidad de ganar $ 1,000,000 es 34 / 175,223,510, o aproximadamente 1 / 5,153,633.

Cuatro bolas blancas y una roja

Para un premio de $ 10,000, debemos combinar cuatro de las cinco bolas blancas y la roja. Hay C (5,4) = 5 formas de unir cuatro de las cinco. La quinta bola debe ser una de las 54 restantes que no fueron sorteadas, por lo que hay C (54, 1) = 54 formas para que esto suceda. Solo hay 1 forma de igualar la bola roja. Esto significa que hay 5 x 54 x 1 = 270 formas de unir exactamente cuatro bolas blancas y la roja, dando una probabilidad de 270 / 175,223,510, o aproximadamente 1 / 648,976.

Cuatro bolas blancas y sin rojo

Una forma de ganar un premio de $ 100 es hacer coincidir cuatro de las cinco bolas blancas y no igualar la roja. Como en el caso anterior, hay C (5,4) = 5 formas de combinar cuatro de las cinco. La quinta bola debe ser una de las 54 restantes que no fueron sorteadas, por lo que hay C (54, 1) = 54 formas para que esto suceda. Esta vez, hay 34 formas de no igualar la bola roja. Esto significa que hay 5 x 54 x 34 = 9180 formas de unir exactamente cuatro bolas blancas pero no la roja, lo que da una probabilidad de 9180 / 175,223,510, o aproximadamente 1 / 19,088.

Tres bolas blancas y una roja

Otra forma de ganar un premio de $ 100 es igualar exactamente tres de las cinco bolas blancas y también igualar la roja. Hay C (5,3) = 10 formas de unir tres de los cinco. Las bolas blancas restantes deben ser una de las 54 restantes que no fueron sorteadas, por lo que hay C (54, 2) = 1431 formas para que esto suceda. Hay una forma de igualar la bola roja. Esto significa que hay 10 x 1431 x 1 = 14.310 formas de unir exactamente tres bolas blancas y la roja, lo que da una probabilidad de 14,310 / 175,223,510, o aproximadamente 1 / 12,245.

Tres bolas blancas y sin rojo

Una forma de ganar un premio de $ 7 es igualar exactamente tres de las cinco bolas blancas y no igualar la roja. Hay C (5,3) = 10 formas de unir tres de los cinco. Las bolas blancas restantes deben ser una de las 54 restantes que no fueron sorteadas, por lo que hay C (54, 2) = 1431 formas para que esto suceda. Esta vez hay 34 formas de no igualar la bola roja. Esto significa que hay 10 x 1431 x 34 = 486,540 formas de combinar exactamente tres bolas blancas pero no la roja, lo que da una probabilidad de 486,540 / 175,223,510, o aproximadamente 1/360.

Dos bolas blancas y una roja

Otra forma de ganar un premio de $ 7 es hacer coincidir exactamente dos de las cinco bolas blancas y también coincidir con la roja. Hay C (5,2) = 10 formas de unir dos de los cinco. Las bolas blancas restantes deben ser una de las 54 restantes que no fueron sorteadas, por lo que hay C (54, 3) = 24,804 formas para que esto suceda. Hay una forma de igualar la bola roja. Esto significa que hay 10 x 24,804 x 1 = 248,040 formas de combinar exactamente dos bolas blancas y la roja, lo que da una probabilidad de 248,040 / 175,223,510, o aproximadamente 1/706.

Una bola blanca y una roja

Una forma de ganar un premio de $ 4 es igualar exactamente una de las cinco bolas blancas y también igualar la roja. Hay C (5,4) = 5 formas de combinar una de las cinco. Las bolas blancas restantes deben ser una de las 54 restantes que no fueron sorteadas, por lo que hay C (54, 4) = 316,251 formas para que esto suceda. Hay una forma de igualar la bola roja. Esto significa que hay 5 x 316,251 x1 = 1,581,255 formas de unir exactamente una bola blanca y la roja, dando una probabilidad de 1,581,255 / 175,223,510, o aproximadamente 1/111.

Una bola roja

Otra forma de ganar un premio de $ 4 es no igualar ninguna de las cinco bolas blancas, sino igualar la roja. Hay 54 bolas que no son ninguna de las cinco seleccionadas, y tenemos C (54, 5) = 3,162,510 maneras para que esto suceda. Hay una forma de igualar la bola roja. Esto significa que hay 3,162,510 formas de no igualar ninguna de las bolas excepto la roja, lo que da una probabilidad de 3,162,510 / 175,223,510, o aproximadamente 1/55.

Este caso es algo contradictorio. Hay 36 bolas rojas, por lo que podemos pensar que la probabilidad de que coincida con una de ellas sería 1/36. Sin embargo, esto descuida las otras condiciones impuestas por las bolas blancas. Muchas combinaciones que involucran la bola roja correcta también incluyen partidos en algunas de las bolas blancas.


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